Trong chương trình lượng giác bậc THPT, việc giải các phương trình chứa các hàm số lượng giác như $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ luôn là nội dung quan trọng và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, đề thi học kỳ và thi tốt nghiệp. Trong đó, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là dạng bài cơ bản nhưng có tính tổng hợp cao.
Phương trình dạng này thường có biểu thức tổng quát: $a f^2(x) + b f(x) + c = 0,$
trong đó $f(x)$ là một trong bốn hàm lượng giác cơ bản: $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ hoặc $\cot x$.
Khi giải, ta thường đặt $t = f(x)$ để đưa phương trình lượng giác về dạng đại số quen thuộc: $a t^2 + b t + c = 0,$
rồi giải tìm $t$ và đối chiếu điều kiện xác định của từng hàm. Sau đó, ta giải tiếp các phương trình cơ bản để tìm nghiệm $x$.
Bên cạnh đó, các phương trình bậc cao hơn theo một hàm lượng giác cũng được giải bằng cách biến đổi tương tự, kết hợp với các công thức lượng giác như:
${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,$ $\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x,$ $\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x, \ldots $
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách nhận dạng, phương pháp giải và các công thức thường dùng cho từng dạng phương trình bậc hai lượng giác, giúp bạn nắm chắc lý thuyết và vận dụng linh hoạt vào bài tập.
Đặt: $t = \sin x,; |t| \le 1.$
Phương trình (1) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Dạng 2: $a\cos^2x + b\cos x + c = 0; (2)$
Đặt: $t = \cos x,; |t| \le 1.$
Phương trình (2) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Dạng 3: $a\tan^2x + b\tan x + c = 0; (3)$
Đặt: $t = \tan x.$
Phương trình (3) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Dạng 4: $a\cot^2x + b\cot x + c = 0; (4)$
Đặt: $t = \cot x.$
Phương trình (4) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
1.
4. $\sin^6x + \cos^6x = 1 - 3\sin^2x \cos^2x$
5. $\cos^2x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$
6. $\sin^2x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$
7. $\cos 3x = 4\cos^3x - 3\cos x$
8. $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$
Phân tích: Thấy có $2x$ và góc $x$ nên nghĩ đến công thức nhân đôi $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ đưa về phương trình bậc hai theo $\sin x$.
$ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0$
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\cos 4x + 12{\sin ^2}x - 1 = 0(2)$
Phân tích:
Trong bài toán có chứa góc $x$ và $4x$ nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ bậc năng cung của
$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}.$
Vì khi sử dụng công thức hạ bậc năng cung ta đã đưa về $\cos 2x$ nên ta chọn công nhân đôi của $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1.$
Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo $\cos 2x.$
Đặt $t = \cos 2x, \ |t| \le 1.$
Phương trình trở thành: ${t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1( n )\\ t = 2(l) \end{array} \right.$
Với $t = 1$, ta có: $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}.$
Ví dụ 3. Giải phương trình: $\cos^4 x - \sin^4 x + \cos 4x = 0 \quad (3)$
Phân tích: Ta thấy $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x,$ chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1.$ Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x. Khi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh
Ví dụ 4. Giải phương trình: $2\cos 2x = 1 + \cos 3x \quad (4).$.
Phân tích: Khi gặp bài lượng giác đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác,các góc trong đó. Thử đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Bài bày ta thấy phương trình chỉ có chứa một hàm cos nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc.
Ta nhớ $\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x$ và $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.$ Khi đó sẽ được phương trình bậc 3 theo cos.
$\Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \ \vee \ \cos x = -\dfrac{3}{2} \text{ (loại)} \ \vee \ \cos x = 1.$
$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, \ (k \in \mathbb{Z}).$
$\cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, \ (k \in \mathbb{Z}).$
Ví dụ 5. Giải phương trình: $2\sin^2 x + \tan^2 x = 2 \quad (5).$
Phân tích: Bài này nếu đặt $t=\tan\dfrac{x}{2}$ đưa về phương trình đa thức theo $t$ cũng được nhưng bậc khá cao.
Ta nhớ công thức $1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}\Leftrightarrow \tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1$ và $\sin^2 x=1-\cos^2 x$. Khi đó bài toán đưa về phương trình trùng phương theo $\cos x$.
Điều kiện: $\cos x\neq 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2{\cos ^2}x - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 2{\cos ^4}x + {\cos ^2}x - 1 = 0.$
Đặt $t=\cos^2 x,\ |t|\le 1$ ta có $2t^2+t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\ \text{or}\ t=-1\ (\text{loại}).$
Với $t=\frac{1}{2}$ tức $\cos^2 x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}.$
Vậy nghiệm của phương trình (5) là $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},$ k ∈ Z.
a) $\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$
b) $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
c) $\cot^2 x - 4\cot x + 3 = 0$
d) $\tan^2 x + (1-\sqrt{3})\tan x - \sqrt{3} = 0$
e) $\cos 2x + 9\cos x + 5 = 0$
f) $\cos 2x + \sin x + 3 = 0$
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) $3\sin^2 2x + 7\cos 2x - 3 = 0$
b) $6\cos^2 x + 5\sin x - 7 = 0$
c) $\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0$
d) $\cos 2x + \cos x + 1 = 0$
e) $6\sin^2 3x + \cos 12x = 14$
f) $4\sin^4 x + 12\cos^2 x = 7$
g) $8\sin^2 x - \cos x = 5$
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) $\sin^3 x + 3\sin^2 x + 2\sin x = 0$
b) $\sin^2 2x - 2\cos^2 x + \frac{3}{4} = 0$
c) $5\sin 3x + \cos 6x + 2 = 0$
d) $2\cos 2x + \cos x = 1$
e) $4\sin^4 3x + 12\cos^2 3x - 7 = 0$
f) $5\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) $3(\tan x + \cot x) = 2(2 + \sin x)$
b) $\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin 2x} = \frac{2}{\sin 4x}$
c) $2\cos^2 \frac{6x}{5} + 1 - 3\cos \frac{8x}{5} = 0$
d) $\sin \frac{5x}{2} = 5\cos^3 x \cdot \sin \frac{x}{2}$
e) $\frac{\sin x}{3} = \frac{\sin 5x}{5}$
f) $\frac{\sin 5x}{5\sin x} = 1$
g) $\sin \left( {2x + \frac{{5\pi }}{2}} \right) - 3\cos \left( {x - \frac{{7\pi }}{2}} \right) = 1 + \sin x;$ $\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};2\pi } \right)$
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) $(\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x)^2 - 5 = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$
b) $2\sin 3x - \frac{1}{\sin x} = 2\cos 3x + \frac{1}{\cos x}$
c) $\frac{\cos x \left(2\sin x + 3\sqrt{2}\right) - 2\cos^3 x - 1}{1 + \sin 2x} = 1$
d) $\cos x \cdot \cos \frac{x}{2} - \sin x \sin \frac{x}{2} - \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$
e) $\cot x - \tan x + \sin 2x = \frac{2}{\sin 2x}$
f) $\sin 2x \cdot (\cot x + \tan 2x) = 4\cos^2 x$
g) $\tan^3\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \tan x - 1$
h) $(1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x$
i) $\sin 2x (\cos x + 3) - 2\sqrt{3}\cos^3 x - 3\sqrt{3}\cos 2x + 8(\sqrt{3}\cos x - \sin x) = 3\sqrt{3}$
j) $4\left(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}\right) + 4\left(\sin x + \frac{1}{\sin x}\right) = 7$
k) ${\tan ^2}x - \tan x \cdot \tan 3x = 2$
l) $4(\sin 3x - \cos 2x) = 5(\sin x - 1)$
Phương trình dạng này thường có biểu thức tổng quát: $a f^2(x) + b f(x) + c = 0,$
trong đó $f(x)$ là một trong bốn hàm lượng giác cơ bản: $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ hoặc $\cot x$.
Khi giải, ta thường đặt $t = f(x)$ để đưa phương trình lượng giác về dạng đại số quen thuộc: $a t^2 + b t + c = 0,$
rồi giải tìm $t$ và đối chiếu điều kiện xác định của từng hàm. Sau đó, ta giải tiếp các phương trình cơ bản để tìm nghiệm $x$.
Bên cạnh đó, các phương trình bậc cao hơn theo một hàm lượng giác cũng được giải bằng cách biến đổi tương tự, kết hợp với các công thức lượng giác như:
${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,$ $\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x,$ $\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x, \ldots $
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách nhận dạng, phương pháp giải và các công thức thường dùng cho từng dạng phương trình bậc hai lượng giác, giúp bạn nắm chắc lý thuyết và vận dụng linh hoạt vào bài tập.
1. Phân dạng phương trình bậc 2 lượng giác
Dạng 1: $a\sin^2x + b\sin x + c = 0; (1)$Đặt: $t = \sin x,; |t| \le 1.$
Phương trình (1) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Dạng 2: $a\cos^2x + b\cos x + c = 0; (2)$
Đặt: $t = \cos x,; |t| \le 1.$
Phương trình (2) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Dạng 3: $a\tan^2x + b\tan x + c = 0; (3)$
Đặt: $t = \tan x.$
Phương trình (3) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Dạng 4: $a\cot^2x + b\cot x + c = 0; (4)$
Đặt: $t = \cot x.$
Phương trình (4) trở thành: $a t^2 + b t + c = 0.$
Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
1.
- $\sin^2x + \cos^2x = 1$
- ${\cos 2x = {{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}$
- ${\cos 2x = 2{{\cos }^2}x - 1}$
- ${\cos 2x = 1 - 2{{\sin }^2}x}$
4. $\sin^6x + \cos^6x = 1 - 3\sin^2x \cos^2x$
5. $\cos^2x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$
6. $\sin^2x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$
7. $\cos 3x = 4\cos^3x - 3\cos x$
8. $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$
2. Bài tập có lời giải
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\cos 2x + 3\sin^2 x - 2 = 0 \quad (1)$Phân tích: Thấy có $2x$ và góc $x$ nên nghĩ đến công thức nhân đôi $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ đưa về phương trình bậc hai theo $\sin x$.
Giải
$(3) \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + 3{\sin ^2}x - 2 = 0$$ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0$
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\cos 4x + 12{\sin ^2}x - 1 = 0(2)$
Phân tích:
Trong bài toán có chứa góc $x$ và $4x$ nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ bậc năng cung của
$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}.$
Vì khi sử dụng công thức hạ bậc năng cung ta đã đưa về $\cos 2x$ nên ta chọn công nhân đôi của $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1.$
Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo $\cos 2x.$
Giải
$(2) \Leftrightarrow 2\cos^2 2x - 1 + 12 \cdot \dfrac{1 - \cos 2x}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos^2 2x - 3\cos 2x + 2 = 0 \quad (*)$Đặt $t = \cos 2x, \ |t| \le 1.$
Phương trình trở thành: ${t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1( n )\\ t = 2(l) \end{array} \right.$
Với $t = 1$, ta có: $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}.$
Ví dụ 3. Giải phương trình: $\cos^4 x - \sin^4 x + \cos 4x = 0 \quad (3)$
Phân tích: Ta thấy $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x,$ chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1.$ Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x. Khi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh
Giải
$(3) \Leftrightarrow {\cos ^4}x - {\sin ^4}x + \cos 4x = 0$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}x + {\sin ^2}x + 2{\cos ^2}2x - 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0.$Ví dụ 4. Giải phương trình: $2\cos 2x = 1 + \cos 3x \quad (4).$.
Phân tích: Khi gặp bài lượng giác đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác,các góc trong đó. Thử đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Bài bày ta thấy phương trình chỉ có chứa một hàm cos nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc.
Ta nhớ $\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x$ và $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.$ Khi đó sẽ được phương trình bậc 3 theo cos.
Giải
$(4) \Leftrightarrow 2(2\cos^2 x - 1) = 1 + 4\cos^3 x - 3\cos x \Leftrightarrow 4\cos^3 x - 4\cos^2 x - 3\cos x + 3 = 0$$\Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \ \vee \ \cos x = -\dfrac{3}{2} \text{ (loại)} \ \vee \ \cos x = 1.$
$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, \ (k \in \mathbb{Z}).$
$\cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi, \ (k \in \mathbb{Z}).$
Ví dụ 5. Giải phương trình: $2\sin^2 x + \tan^2 x = 2 \quad (5).$
Phân tích: Bài này nếu đặt $t=\tan\dfrac{x}{2}$ đưa về phương trình đa thức theo $t$ cũng được nhưng bậc khá cao.
Ta nhớ công thức $1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}\Leftrightarrow \tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1$ và $\sin^2 x=1-\cos^2 x$. Khi đó bài toán đưa về phương trình trùng phương theo $\cos x$.
Điều kiện: $\cos x\neq 0.$
Giải
$\left( 5 \right) \Leftrightarrow 2(1 - {\cos ^2}x) + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 = 2$$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2{\cos ^2}x - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 2{\cos ^4}x + {\cos ^2}x - 1 = 0.$
Đặt $t=\cos^2 x,\ |t|\le 1$ ta có $2t^2+t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\ \text{or}\ t=-1\ (\text{loại}).$
Với $t=\frac{1}{2}$ tức $\cos^2 x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}.$
Vậy nghiệm của phương trình (5) là $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},$ k ∈ Z.
3. Bài tập tự giải
Bài 1. Giải các phương trình sau:a) $\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$
b) $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
c) $\cot^2 x - 4\cot x + 3 = 0$
d) $\tan^2 x + (1-\sqrt{3})\tan x - \sqrt{3} = 0$
e) $\cos 2x + 9\cos x + 5 = 0$
f) $\cos 2x + \sin x + 3 = 0$
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) $3\sin^2 2x + 7\cos 2x - 3 = 0$
b) $6\cos^2 x + 5\sin x - 7 = 0$
c) $\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0$
d) $\cos 2x + \cos x + 1 = 0$
e) $6\sin^2 3x + \cos 12x = 14$
f) $4\sin^4 x + 12\cos^2 x = 7$
g) $8\sin^2 x - \cos x = 5$
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) $\sin^3 x + 3\sin^2 x + 2\sin x = 0$
b) $\sin^2 2x - 2\cos^2 x + \frac{3}{4} = 0$
c) $5\sin 3x + \cos 6x + 2 = 0$
d) $2\cos 2x + \cos x = 1$
e) $4\sin^4 3x + 12\cos^2 3x - 7 = 0$
f) $5\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) $3(\tan x + \cot x) = 2(2 + \sin x)$
b) $\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin 2x} = \frac{2}{\sin 4x}$
c) $2\cos^2 \frac{6x}{5} + 1 - 3\cos \frac{8x}{5} = 0$
d) $\sin \frac{5x}{2} = 5\cos^3 x \cdot \sin \frac{x}{2}$
e) $\frac{\sin x}{3} = \frac{\sin 5x}{5}$
f) $\frac{\sin 5x}{5\sin x} = 1$
g) $\sin \left( {2x + \frac{{5\pi }}{2}} \right) - 3\cos \left( {x - \frac{{7\pi }}{2}} \right) = 1 + \sin x;$ $\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};2\pi } \right)$
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) $(\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x)^2 - 5 = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$
b) $2\sin 3x - \frac{1}{\sin x} = 2\cos 3x + \frac{1}{\cos x}$
c) $\frac{\cos x \left(2\sin x + 3\sqrt{2}\right) - 2\cos^3 x - 1}{1 + \sin 2x} = 1$
d) $\cos x \cdot \cos \frac{x}{2} - \sin x \sin \frac{x}{2} - \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$
e) $\cot x - \tan x + \sin 2x = \frac{2}{\sin 2x}$
f) $\sin 2x \cdot (\cot x + \tan 2x) = 4\cos^2 x$
g) $\tan^3\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \tan x - 1$
h) $(1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x$
i) $\sin 2x (\cos x + 3) - 2\sqrt{3}\cos^3 x - 3\sqrt{3}\cos 2x + 8(\sqrt{3}\cos x - \sin x) = 3\sqrt{3}$
j) $4\left(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}\right) + 4\left(\sin x + \frac{1}{\sin x}\right) = 7$
k) ${\tan ^2}x - \tan x \cdot \tan 3x = 2$
l) $4(\sin 3x - \cos 2x) = 5(\sin x - 1)$
Last edited: